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複數運算

複平面上複數加法與乘法的幾何意義

z₁ + z₂（首尾相接）

結果 z

3+3i

模 |z|

4.24

輻角 arg

45°

|z₁|

2.24

|z₂|

2.24

z₁ 實部2.0

z₁ 虛部1.0

z₂ 實部1.0

z₂ 虛部2.0

z₁ z₂ 運算結果

提示：拖動滑塊改變複平面上的複數；乘法「演示旋轉」動畫展示模相乘、輻角相加

核心知識點

代數形式 z = a + bi；加減法：(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i。
乘法：(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i（注意 i² = −1）。
模與輻角：|z| = √(a² + b²)；三角形式 z = r(cosθ + i·sinθ)。
乘除法的幾何意義：模相乘除，輻角相加減，即 |z₁z₂| = |z₁||z₂|，arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂。
共軛：z̄ = a − bi，且 |z|² = z·z̄。

典型例題

已知 z₁ = 2 + i，z₂ = 1 + 2i，求 z₁ + z₂ 與 z₁·z₂。

解析：z₁ + z₂ = (2+1) + (1+2)i = 3 + 3i；z₁z₂ = (2·1 − 1·2) + (2·2 + 1·1)i = 0 + 5i = 5i。

答：z₁ + z₂ = 3 + 3i，z₁·z₂ = 5i。

求複數 3 + 4i 的模。

解析：|3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。

答：模為 5。