正態分布

提示：調節 μ、σ 觀察鐘形曲線變化；陰影區為 ±1σ(≈68%)、±2σ(≈95%)、±3σ(≈99.7%)；「變形動畫」演示 σ 改變時曲線胖瘦變化

核心知識點

概率密度函數：f(x) = 1/(σ√2π) · e^{−(x−μ)²/(2σ²)}，μ 為均值，σ 為標準差（σ > 0）。
圖像關於 x = μ 對稱，在 x = μ 處取最大值 1/(σ√2π)；σ 越大曲線越"矮胖"。
3σ 原則：P(μ−σ<X<μ+σ) ≈ 0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ) ≈ 0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ) ≈ 0.9973。
標準正態分布：μ = 0, σ = 1，記為 X ~ N(0,1)，可查表或化為 Z = (X−μ)/σ 計算概率。
正態總體約 95% 的數據落在區間 (μ−2σ, μ+2σ) 內，常用於質量控制。

某正態總體 X ~ N(0,1)，求 P(−1 < X < 1)。

解析：對應 ±1σ 區間，由 3σ 原則知該概率約為 0.6827（即 68.27%）。

答：P(−1 < X < 1) ≈ 0.6827。

設 X ~ N(μ, σ²)，求 P(|X − μ| < 2σ)。

解析：|X − μ| < 2σ 等價於 μ − 2σ < X < μ + 2σ，即 ±2σ 區間，概率約為 0.9545。

答：P(|X − μ| < 2σ) ≈ 0.9545（95.45%）。