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數列求和

等差/等比數列前n項和動態演示

等差數列：Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

通項 aₙ

—

前n項和 Sₙ

—

項數 n

10

末項/公比

—

項數 n（1~15）10

首項 a₁1.0

公差 d1.0

公比 q2.0

提示：切換數列類型，調節參數，點擊「播放累加」動畫逐項累加得到 Sₙ；滑塊 n 控制總項數

核心知識點

等差數列：aₙ = a₁ + (n−1)d，前 n 項和 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n·a₁ + n(n−1)d/2。
等比數列：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹；當 q ≠ 1 時 Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)，q = 1 時 Sₙ = n·a₁。
等差數列求和核心思想為"倒序相加"，等比數列求和核心思想為"錯位相減"。
常用自然數平方和公式：1 + 2 + … + n = n(n+1)/2。
判斷數列類型：相鄰項差恆定→等差；相鄰項比恆定（非零）→等比。

典型例題

等差數列 {aₙ} 中 a₁ = 1，d = 1，求 S₁₀。

解析：代入公式 S₁₀ = 10×1 + 10×9/2 × 1 = 10 + 45 = 55（此即 1+2+…+10）。

答：S₁₀ = 55。

等比數列 a₁ = 1，q = 2，求 S₅。

解析：q ≠ 1，用公式 S₅ = (1 − 2⁵)/(1 − 2) = (1 − 32)/(−1) = 31。

答：S₅ = 31。