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指數對數函數

底數變化時指數函數與對數函數圖像

y = aˣ 與 y = logₐ x（互為反函數）

底數 a

2.0

指數點 (1,a)

(1, 2.0)

對數點 (a,1)

(2.0, 1)

交點

(0,1)

底數 a（1.5~4）2.0

提示：拖動滑塊改變底數a，觀察兩曲線隨a變化；動畫展示指數曲線上一點關於 y=x 的對稱點落在 Log 曲線上（互為反函數）

核心知識點

指數函數 y = aˣ（a>0, a≠1）過點 (0,1)；a>1 遞增，0<a<1 遞減。
對數函數 y = logₐ x 是指數函數的反函數，過點 (1,0)，定義域為 x > 0。
反函數關係：a^{logₐ x} = x，logₐ(aˣ) = x；兩圖像關於直線 y = x 對稱。
對數運算：logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(Mⁿ) = n·logₐM。
換底公式：logₐ b = ln b / ln a，便於用自然對數計算。

典型例題

解方程 2ˣ = 8。

解析：將 8 化為 2³，即 2ˣ = 2³，由指數函數的單調性得 x = 3。

答：x = 3。

計算 log₂ 8 + log₂(1/2)。

解析：log₂ 8 = log₂(2³) = 3；log₂(1/2) = log₂(2⁻¹) = −1；故和為 3 + (−1) = 2。

答：結果為 2。