零點存在性定理與二分法求根
提示：選擇函數後點擊「單步迭代」或「自動二分」，觀察區間[a,b]逐步縮小、中點逼近零點
用二分法求 f(x) = x² − 2 的正根，在 [1,2] 上做第一次迭代，求中點及新區間。
解析：中點 c = (1+2)/2 = 1.5。f(1) = −1 < 0，f(1.5) = 0.25 > 0，因 f(1)·f(1.5) < 0，根落在 [1,1.5]。
答：中點 1.5，新區間為 [1,1.5]。
證明方程 x³ + x − 1 = 0 在 (0,1) 內有且僅有一個實根。
解析：f(x) 連續，f(0) = −1 < 0，f(1) = 1 > 0，由零點定理知存在根；又 f'(x) = 3x² + 1 > 0 恆成立，故 f(x) 單調遞增，根唯一。
答：在 (0,1) 內存在且唯一。